Диссертация - Аппроксимация дифференциальный включений |
Содержание |
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ... 4
ВВЕДЕНИЕ... 8
Глава 1. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНЕШНИМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ... 26
§1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 26 § 1.1. Аппроксимация дифференциального включения
с внешними возмущениями ... 38
§ 1.2. Аппроксимация периодических и многоточечных
краевых задач с внешними возмущениями... 44
Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ
С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ... 50
§ 2.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации
дифференциальных включений с внешних возмущений 51 § 2.2. Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними
возмущениями... 58
Глава 3. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНУТРЕННИМИ
И ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ... 61
§3.0. Основные определения и вспомогательные утверждения 61 §3.1. Аппроксимация дифференциального включения
с внутренними и внешними возмущениями ... 67
§3.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними
возмущениями... 73
§ 3.3. Аппроксимация вложением и с положительной
оценкой снизу радиуса внутренних возмущений ... 77
§ 3.4. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач ... 82 Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ С ВНУТРЕННИМИ И ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ... 86
§ 4.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений... 87
§ 4.2. Устойчивость в аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего отображения... 93
§ 4.3. Устойчивость в аппроксимации возмущенных
периодических и многоточечных краевых задач ... 96 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...101
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Шп - пространство n-мерных вектор-столбцов с евклидовой нормой | • | и порожденной ею метрикой р( ¦, •); р(х, у) = \х — у\.
comp[Mn] - совокупность всех непустых компактных подмножеств из
йп.
пространства
V — замыкание множества V]
со V - выпуклая оболочка множества V: со V = со V
ext V - множество всех крайних точек множества V, ext V = ext V
Множество
В [г/,, г] = {х е Ш.п : р(и, х) ^ г}
называется замкнутым шаром пространства Шп с центром в точке и и радиусом г > 0; В[и,{)} = {и}.
Если V С Шп и с > 0, то множество
называется замкнутой г-окрестностью множества V; V0 = V. Обозначим через
- норму множества F в пространстве W1.
p[x,F] = inf p{x,y)
y€F
- расстояние между точкой х и множеством F,
Fi} :yeFi}
- полуотклонение по Хаусдорфу между множествами i<\ и i<2 в пространстве Шп, а
h[Fu F2] = max{/i+[Fb F2], h+[F2, Fx]}
- расстояние по Хаусдорфу между множествами F\ и F2.
Cn[a, b] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] —> Шп с нормой
\\x\\c = max{|x(t)| : t € [a, b}};
Ln[a,6] - пространство суммируемых по Лебегу функций х : [а, Ь] с нормой
\\х
D7I
lL = J
J а
Z)n[a, b] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, Ь] —> Шп с нормой
гь
\\x\\d = \х(а)\-\- / \x(s)\ds;
Jа
coF : [a, b] —+ comp[Rn] - отображение, определенное равенством {со F){t) = co{F{t)), где F : [a, b] -> comp[En];
ext F : [a, b] —> comp[M"] - отображение, определенное равенством
(ext F){t) = ext {F{i)), где F : [a, 6] -> comp[Mn];
Обозначим через S{F{ ¦)) - множество всех измеримых селекторов (ветвей) отображения F : [а, 6] -> comp[En]; 5(F(-)) = {?/(') ? ?"М] : G F(?) при почти всех i G [a, 6]};
F(i, •) - t фиксировано и F : [o,6]xln-> comp[En] рассматривается как отображение только второго аргумента;
F{- ,х) - х фиксировано и F : [а, Ь] х Шп —> comp[]Rn] рассматривается как отображение только первого аргумента;
6
- суперпозиция отображений F : [а, Ь] х Шп —> comp[En] и
: [а,
эп.
со F{ ¦, х{ ¦)) - суперпозиция отображений со F : [а, &] х 1" -> сотр[Мп] {{со F){t,x) = co{F{t,x))) их : [а, 6] -* Мп;
Обозначим через if ([а, 6] х IRn х [0, оо)) множество всех функций г/ : [а, Ь] хК"х [0, оо) —> [0, ею), обладающих следующими свойствами:
a) при каждых {х,5) Е Шп х [0, оо) функция г){ ¦, х, 5) измерима;
b) при почти всех t Е [а, Ь] и всех 5 Е [0, оо) функция 77(2, •, 5) непрерывна;
c) для каждых U E comp[]R"] и 6 Е [0, оо) существует такая суммируемая функция ти,8 '¦ [я, 6] —» [0, оо), что при почти всех t E [а, Ь] и всех х Е ?/ и т Е [0, 5] выполняется неравенство т/(?, ж, г) ^ fnu^{t)\
d) при почти всех 2 Е [а, 6] и каждого жбК" выполняются равенства
I- 7 х\ — о ,n(f т о) _ л
К {[а, Ь] х Шп х [0, оо)) - множество всех функций т/( -,-,•) 6 if ([а, 6] х х Шп х [0,оо)), обладающих свойством: для каждого U € comp[IRn] и 5 G [0, оо) найдется такая функция ти^{-)) определяющая множество К {[а, Ь] хШп х [0, оо)), что она представляет собой константу.
Р{[а,Ь] х Шп х [0, оо)) - множество всех функций ц : [a, b] x Kn x х [0, оо) —» [0, оо), обладающих всеми свойствами из множества функций К ([а, Ь] хМ"х [0, оо)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U € comp[IRn] и S G (0, оо) найдутся такие числа r{U,5) > 0 и (3{U,6) > 0, что при почти всех t G [а, Ь] всех х G U число r{U,S) удовлетворяет неравенству r{U,6) ^ rj{t,x,5), а для числа (3{U,S) при почти всех t е [а, 6] всех а: Е ?/ и т Е [0,5] имеет место оценка r]{t, х, г) ^ /?([/, 6).
К([О,и] хМ"х [0, со)) - множество всех функций г) : (—оо,оо) хГх х [0, оо) —>¦ [0, оо), ^-периодических по первому аргументу и на [0,си] обладающих свойствами из класса функций K([a,b] x IRn x [0, оо)).
P([0,cj] х Шп х [0, оо)) - множество всех функций г) : ( — оо, сю) х Шп х х [0, оо) —-> [0, оо), w-периодических по первому аргументу и на [0,ш] обладающих свойствами из класса функций Р([а, 6] х Шп х [0, оо)). |
|
Год |
Страниц |
Стоимость |
| 2003 |
77 |
900 рублей |
|
|
