Диссертация - Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВНО
Содержание
Введение 19
1 Мартингалы со смешанной нормой 30
1.1 Общие определения и факты...30
1.1.1 Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последова-тельности с -алгебр...30
1.1.2 Теорема сходимости мартингалов...37
1.1.3 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателей суммируемости ... 41
1.2 Случай специальной хааровской фильтрации ... 45
1.2.1 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателях суммируемости (продолжение) ...45
1.2.2 Характеризация пространств Харди, ВМО
и VMO...54
1.3 Случай диадической фильтрации...64
1.3.1 Оценки стохастических экспонент...64
1.3.2 Характеризация в терминах несимметричных пространств последовательностей ... 72
1.4 Случай потока цилиндрических а -алгебр...80
1.4.1 Пространства со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных про-странств...80
1.4.2 Реализация диадической фильтрации в виде декартова произведения ...86
1.5 Пространства Lp на бесконечномерном торе ... 89
1.5.1 Свойства сходимости. Неравенство Юнга. Критерий компактности ...89
1.5.2 Оператор Фурье в пространствах Lp (T°°) . 93
1.5.3 Обобщенные функции (распределения) на бес-
lt конечномерном торе...96
1.5.4 Винеровский процесс на Т°°...100
1.5.5 Гармонические функции на областях в Т°° . 102
1.5.6 Гармонические функции с мартингальной смешанной нормой ...111
2 Базисы и операторы в пространствах Lp 118
2.1 Операторы условных матожиданий в пространствах Lp ...118
2.1.1 Связь между пространствами Lp(T) и опе-
раторами условного матожидания
Ет ... 118
2.1.2 Структурные результаты о подпространствах LP(T)...124
2.2 Теорема Пелчинского для пространств Lp ...130
2.2.1 Формулировка теоремы и вспомогательные результаты...130
2.2.2 Доказательство теоремы Пелчинского . . . .134
2.3 Обобщение результатов, справедливых для обычных пространств Ьр... . 138
2.3.1 Ортонормированные системы в пространствах Lp ...138
2.3.2 Обобщенные системы Хаара в пространствах Lp со смешанной нормой...147
3 Lp-теория на бесконечномерном торе 153
3.1 Диффузионные процессы на группе Т°°, функции
ф
Литтлвуда-Пэли и операторы типа Рисса...153
3.1.1 Формы Дирихле и симметричные процессы Ханта...153
3.1.2 Неравенства Литтлвуда-Пэли и допустимые операторы...163
3.1.3 Применение к исследованию дифференциальных уравнений...171
3.1.4 Вторая формула Берлинга-Дени на Т°° . . .175
3.1.5 Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии...178
3
3.2 Некоторые обобщения для пространств Са^ . . . .185
3.2.1 Определение и простейшие факты...185
3.2.2 Вопрос двойственности...191
3.2.3 Пространства мартингалов, ограниченных
в норме ?a,fi...194
3.2.4 Пространства ?а(/ДТ°°) ...200
4 Пространства Харди и ВМО 207
4.1 Мультипликаторная теория пространств Харди со смешанной нормой на бесконечномерном торе ... 207
4.1.1 Пространства Харди Нр. Двойственность . .207
4.1.2 Обобщенные уравнения Коши-Римана ... 218
4.1.3 Пространства Харди гармонических функций224
4.1.4 Примеры мультипликаторов. Условие (S) . . 231
4.2 Пространства ВМО (Т°°). Характеризация интег-рала Пуассона...239
4.2.1 Вероятностное пространство Харди Н™ . . . 239
4.2.2 Пространство ВМ.О и различные его характеристики ...243
4.2.3 Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВЛ4О ...246
4.2.4 Теорема двойственности и некоторые ее следствия ...255
Ф
А Обратное неравенство Гельдера в смешанной норме 259
В Свойства сходимости в пространствах Lp 262
С Уравнение Пуассона на Т°° 1*1 \
Библиография 285
